三维空间

空间平面和空间直线

空间平面	空间直线
法线$n=(A,B,C)$	方向向量$\tau = (l,m,n)$
$Ax+By+Cz+D=0$	两个空间平面交线确定一条空间直线
法向量 * 面向量 = 0$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$	分量比相等$\dfrac{x-x_0}{l} = \dfrac{y-y_0}{m} = \dfrac{z-z_0}{n}$
三向量共面：$（x,y,z）$与平面上的不共线的三点组成的三阶矩阵的行列式=0	两点式连等式
平面与平面垂直等价于法向量与法向量垂直平面与平面平行等价于法向量与法向量平行	参数方程
直线与平面垂直等价于法向量和方向向量平行,直线与平面平行等价于法向量和方向向量垂直	直线之间垂直等价于方向向量之间垂直,直线之间平行等价于方向向量之间平行
点到平面的距离：$d=\dfrac{\|Ax_0+By_0+Cz_0+D\|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$	点$P$到直线的距离：$d= \dfrac{\|\tau\times PM\|}{\|\tau\|}$
平面和平面的夹角：$\theta = \arccos \dfrac{\|n_1\cdot n_2\|}{\|n_1\|\|n_2\|} = min\{< n_1,n_2>,\pi-< n_1,n_2>\}\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$	直线和直线的夹角：$\theta = \arccos \dfrac{\|\tau_1\cdot \tau_2\|}{\|\tau_1\|\|\tau_2\|} = min\{< \tau_1,\tau_2>,\pi-< \tau_1,\tau_2>\}\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$
平面和直线的夹角：$\theta = \arcsin \dfrac{\|\tau\cdot n\|}{\|\tau\|\|n\|} = \left\| \dfrac{\pi}{2}-< \tau,n> \right\|\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$

空间曲面和空间曲线

空间曲面$\Sigma$	空间曲线$\Gamma$
$F(x,y,z) = 0$	$\left\{ \begin{array}{lr} F(x,y,z) = 0, \\ G(x,y,z) = 0,\end{array}\right.$
法向量：$n = (F_x'(P_0),F_y'(P_0),F_z'(P_0))$	切向量：$\tau = \left\| \begin{array} {ccc} i & j & k\\F_x&F_y&F_z'\\G_x'&G_y'&G_z' \end{array}\right\| = (A,B,C)$参数方程下：$\tau = (x_t',y_t',z_t')=(A,B,C)$
切平面：$F_{x}^{\prime}\left(x-x_0\right)+F_{y}^{\prime}\left(y-y_0\right)+F_{z}^{\prime}\left(z-z_0\right)=0$	法平面：$x_{t}^{\prime}\left(x-x_0\right)+ y_{t}^{\prime}\left(y-y_0\right)+z_{t}^{\prime}\left(z-z_0\right)=0$
法线：$\dfrac{x-x_0}{F_{x}^{\prime}}=\dfrac{y-y_0}{F_{y}^{\prime}}=\dfrac{z-z_0}{F_{z}^{\prime}}$	切线：$\dfrac{x-x_0}{x_{t}^{\prime}}=\dfrac{y-y_0}{y_{t}^{\prime}}=\dfrac{z-z_0}{z_{t}^{\prime}}$