空间

该部分空间非常重要,在几何学,多重微积分,线性代数中都将运用

向量

向量空间

向量空间在线性代数中将通过矩阵空间来详细说明.

单位向量： $eX,eY,eZ$ ：单位向量。
向量表示： $v = (v_x,v_y,v_z)\quad u=(u_x,u_y,u_z)$ ：向量。
向量的模： $[v] = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$ ：向量的模。
数量积： $v \cdot u = (v_x,v_y,v_z)\cdot(u_x,u_y,u_z) = v_xu_x+v_yu_y+v_zu_z$
$v\bot u \Longleftrightarrow \theta = \dfrac{\pi}2 \Longleftrightarrow v\cdot u = 0 \Longleftrightarrow v_xu_x+v_yu_y+v_zu_z = 0$
向量的 $v\cdot u = [v][u]\cos \theta \implies \cos \theta = \dfrac{v\cdot u}{[v][u]}$
$v_i = v\cdot e_I$ :等于向量和各个方向上的单位向量的数量积。
$a=< v,X > \quad b =< v,Y >\quad c = < v,Z >$
$\cos\alpha=\dfrac{v_x}{[v]};\quad\cos\beta=\dfrac{v_y}{[v]};\quad\cos\gamma=\dfrac{v_z}{[v]}$ ：方向余弦
$a = (\cos \alpha,\cos \beta,\cos\gamma)$ 向量 $v$ 的单位向量，表示方向
投影: $\Pi_uv = \dfrac{v\cdot u}{[u]} = [v]\cos \theta$
$v\times u = \left| \begin{array} {ccc} i & j &k\\v_x&v_y&v_z\\u_x&u_y&u_z \end{array}\right|$
$\left| v \times u \right| = [v][u]\sin \theta$ ：右手规则确定方向，用于计算法向量和面积
混合积： $[vuw] = (v\times u)\cdot w = \left| \begin{array} {ccc} v_x& v_y &v_z\\u_x&u_y&u_z\\w_x&w_y&w_z \end{array}\right|$ ,混合积=0，三向量共面。

场论初步

哈密顿算子： $\nabla = \left(\dfrac{\partial}{\partial x},\dfrac{\partial}{\partial y},\dfrac{\partial}{\partial z}\right)$
方向导数：三元函数 $u=u(x,y,z)$ 在点 $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ 处有定义,距离 $t= \sqrt{\sum_{i=x}^{x,y,z}(i-i_0)^2}$ ,

$\dfrac{\partial u}{\partial l}|_{P_0} = \lim_{t\to 0^+}\dfrac{u(P)-u(P_0)}{t} =\lim_{t\to 0^+}\dfrac{u(x_0+t\cos \alpha,y_0+t\cos\beta,z_0+t\cos\gamma)-u(P_0)}{t}\\=\nabla u(P_0) \cdot l^o = u_x'(P_0)\cos \alpha+u_y'(P_0)\cos \beta + u_z'(P_0)\cos \gamma = |\nabla||l^o|\cos \theta$

梯度： $grad\,u|_{P_0} =\nabla\cdot u(P_0) = (u_x'(P_0),u_y'(P_0),u_z'(P_0))$
散度：向量场： $A(x,y,z) = (P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$ $div\,A =\nabla \cdot A = \dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z}$
旋度： $rot\,A = \nabla\times A = \left| \begin{array} {ccc} i & j &k\\\dfrac{\partial}{\partial x}&\dfrac{\partial}{\partial y}&\dfrac{\partial}{\partial z}\\P&Q&R\end{array}\right|$

空间

向量​

场论初步​

向量

场论初步