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微分学

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一元​

导数​

f′(x0)=lim⁡Δx→0ΔyΔx=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=Af'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = A

AA 存在表示 f(x)f(x) 在该点可导。

f′(x0)=A⟺f−′(x0)=f+′(x0)=Af'(x_0) = A \Longleftrightarrow f'_-(x_0) = f'_+(x_0) = A

尖点和折点不可导，可导不等于光滑，可微 = 可导

可微的判别

即判断误差是 Δx\Delta x 的高阶无穷小。

  1. 真实增量：Δy=f(x0+Δx)−f(x0)\Delta y = f(x_0 + \Delta x) -f(x_0)
  2. 线性增量：AΔx=f′(x0)ΔxA\Delta x = f'(x_0)\Delta x
  3. 无穷小则可微：lim⁡Δx→0Δy−AΔxΔx=0\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y - A\Delta x}{\Delta x} = 0

导数的计算​

  1. 定义法
  2. 基本求导公式
  3. 分段函数求导
  4. 复合函数求导
  5. 反函数求导
  6. 参数方程求导
  7. 隐函数
  8. 对数求导法
  9. 幂指函数求导法
  10. 高阶导数
    • 归纳法
    • 莱布尼兹公式
    • 泰勒公式
  11. 变限积分求导公式

导数中值定理​

描述连续光滑曲线在两点之间的光滑性，保证闭区间连续开区间可导

相关：函数中值定理

  1. 费马Fermat：极值点存在导数则导数为0.

  2. 罗尔Rolle：闭连开导函数,端点值相等则 ∃ξ∈(a,b)→f′(ξ)=0\exist \xi\in (a,b) \to f'(\xi)= 0

罗尔原话

如果 f(n)(x)=0f^{(n)}(x) = 0 最多有 kk 个根，那么 f(x)=0f(x)=0 最多有 k+nk+n 个根。

  1. 拉式Lagrant：闭连开导函数,∃ξ∈(a,b)→f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)\exist \xi\in (a,b) \to f(b) -f(a) = f'(\xi)(b-a)

  2. 柯西Cauchy：两个闭连开导函数,∃ξ∈(a,b)→f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ)\exist \xi\in (a,b) \to \dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)} 其中g′(ξ)≠0g'(\xi) \ne 0

  3. 泰勒Taylor：Rn(x)R_n(x) 拉格朗日余项，o(xn)o(x^n) 配亚诺余项，当 x0=0x_0 = 0 时麦克劳林公式

f(x)=∑n=0nf(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1f(x) = \sum_{n=0}^{n}\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x) \\R_n(x) = \dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}

导数的几何应用​

  1. 极值：f(x)≤f(x0)，x∈Uf(x)\le f(x_0)，x\in U

间断点也可以是极值点

  1. 可导极值点，f′(x0)=0f'(x_0)=0；f′(x0+)⋅f′(x0−)<0f'(x_0+)\cdot f'(x_0-)<0
    1. 极大值：{f′(x0)=0f′′(x0)<0f(2n−1)(x0)=0f(2n)(x0)<0\left\{ \begin{array}{l} f'(x_0)=0\quad f''(x_0)< 0 \\ f^{(2n-1)}(x_0)=0\quad f^{(2n)}(x_0)<0 \end{array}\right.
    2. 极小值：{f′(x0)=0f′′(x0)>0f(2n−1)(x0)=0f(2n)(x0)>0\left\{ \begin{array}{l} f'(x_0)=0\quad f''(x_0)>0 \\ f^{(2n-1)}(x_0)=0\quad f^{(2n)}(x_0)>0 \end{array}\right.
  2. 最值：f(x)≤f(x0)，x∈If(x)\le f(x_0)，x\in I 确定函数定义域内的所有驻点和不可导点和端点函数值，其中最大值和最小值就是函数的最大值和最小值。

最值点不一定是极值点，极值点也不一定是最值点。

  1. 凹凸性：f′′(x)<0f''(x)< 0 凸。
  2. 二阶可导拐点：{f′′(x0)=0；f′′(x0+)⋅f′′(x0−)<0f′′(x0)=0f′′′(x0)≠0f(2n)(x0)=0f(2n+1)(x0)≠0\left \{\begin{array}{l} f''(x_0)=0；f''(x_0+)\cdot f''(x_0-)< 0\\f''(x_0)=0 \quad f'''(x_0)\neq 0\\ f^{(2n)}(x_0)=0\quad f^{(2n+1)}(x_0)\neq 0 \end{array}\right.

对于可导点，极值点和拐点不可能是一个点

  1. 渐近线：铅直渐近线；水平渐近线；斜渐近线

多元​

多元微分​

连续：lim⁡(x,y)→(x0,y0)=f(x,y)=f(x0,y0)\lim_{\left(x,y\right)\to\left(x_0,y_0\right)}=f\left(x,y\right)=f\left(x_0,y_0\right)

偏导数：fx′(x0,y0)=lim⁡Δx→0f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)Δxf_x'(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{f\left(x_0+\Delta x,y_0\right)-f\left(x_0,y_0\right)}{\Delta x}

偏导数的连续性：定义法和公式法求得的值是否相等。
  1. 定义法求fx′(x0,y0),fy′(x0,y0)f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0,y_0)
  2. 公式法求fx′(x,y),fy′(x,y)f'_x(x,y),f'_y(x,y)
  3. 计算：lim⁡x→x0,y→y0fx′(x,y),lim⁡x→x0,y→y0fy′(x,y)\lim_{x\to x_0,y\to y_0} f'_x(x,y),\lim_{x\to x_0,y\to y_0} f'_y(x,y)
  4. 检查是否相等
可微的判别

ρ=(Δx)2+(Δy)2\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}

全增量：Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)=AΔx+BΔy+o(ρ)\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)=A\Delta x+B\Delta y + o(\rho)

全微分：dz=AΔx+BΔy\mathrm{d}z=A\Delta x+B\Delta y

如果A,BA,B的值不依赖于Δx,Δy\Delta x,\Delta y,而仅与x,yx,y相关，则可微。

lim⁡Δx→0,Δy→0Δz−dzρ=0  ⟹  differentiable\lim_{\Delta x\to0,\Delta y\to0}\dfrac{\Delta z-\mathrm{dz}}{\rho}=0\implies \mathrm{differentiable}

无条件极值​

必要条件：fx′=fy′=0f'_x=f'_y=0

存在极值：{fxx′′=Afxy′′=Bfyy′′=C  ⟹  AC−B2>0\begin{cases}f_{xx}''=A\\ f_{xy}''=B\\ f_{yy}''=C\end{cases}\implies AC-B^2>0

极大值A<0A< 0,极小值A>0A>0。AC−B2=0AC-B^2=0方法失效。

条件最值​

拉格朗日乘数法​

  1. 构造辅助函数F(x,y,z,λ,μ)=f(x,y,z)+λρ(x,y,z)+μτ(x,y,z)F\left(x,y,z,\lambda,\mu\right)=f\left(x,y,z\right)+\lambda\rho\left(x,y,z\right)+\mu\tau\left(x,y,z\right)
  2. 偏导数构造的方程组Fi′(x,y,z,λ,μ)=0F'_i(x,y,z,\lambda,\mu)=0
  3. 解备选点，求f(Pi)f(P_i)
  4. 根据实际问题，必存在最值，所得即为所求

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