微分方程

类型	解
$y^{\prime}+p(x)y=q(x)$	$y=e^{-\int p(x)dx}[\int e^{\int p(x)dx}\cdot q(x)dx+C].$
$y'=f(x)\cdot g(y)$	$\int\dfrac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$
$y'=f(ax+by+c)$	$u=ax+by+c\implies u'=a+bf(u)\\\int \dfrac{du}{a+bf(u)}=\int dx$
$y'=f(\dfrac{y}{x})$	$u=\dfrac{y}{x}\implies y=ux\implies \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{du}{dx}x+u \\ \int\dfrac{du}{f(u)-u}=\int\dfrac{dx}{x}$
$y^{\prime}+p(x)y=q(x)y^n\\(n\ne0,1)$	$z=y^{1-n}\implies\dfrac{dz}{\mathrm{d}x}=\left(1-n\right)y^{-n}\dfrac{dy}{\mathrm{d}x}\\\dfrac{1}{1-n}\dfrac{dz}{\mathrm{d}x}+p\left(x\right)z=q\left(x\right)$
$y''=f(x,y')$	$y'=p\implies y''=p'$
$y''=f(y,y')$	$y'=p\implies p\dfrac{dp}{dy}=f(y,p)$

⑤是伯努利方程。

高阶微分方程

$y''+py'+q=f(x)$

1. 求齐次方程的通解：
2. 写出非齐次方程的特解$y^*$并代回方程求待定系数。
3. 写出通解

齐次方程的通解：

特征方程：$r^2+pr+q=0$

齐次线性方程的通解$y=\left\{\begin{array}{llllllllll}C_1e_{}^{\lambda_1x}+C_2e_{}^{\lambda_2x}. & \Delta>0\\ \left(C_1+C_2x\right)e^{\lambda x}. & \Delta=0\\ e^{\alpha x}\left(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x\right). & \Delta<0\end{array}\right.$

$\Delta$是特征方程的判别式，$\lambda$是特征方程的解。

非齐次方程的特解：

$f(x)=P_n(x)e^{\alpha x}\implies y^*=e^{\alpha x}Q_n(x)x^k$

$k$是$\alpha$和$\lambda$相等的个数。

$f(x)=e^{\alpha x}[P_m(x)\cos \beta x+P_n(x)\sin \beta x]\\\implies y^*=e^{\alpha x}[Q_{\max(m,n)}\cos \beta x+Q^*_{\max(m,n)}\sin\beta x]x^k$

$\alpha\pm\beta\mathrm{i}$是特征根，$k=1$，否则$k=0$。

欧拉方程

$x^2y''+pxy'+qy=f(x)$

当$x>0$时，令$x=e^t$：

$\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}+\left(p-1\right)\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+qy=f\left(e^{t}\right)$

即可求解。

当$x<0$时令$x=-e^t$也相同。

微分算子法

求特解

$D=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\quad Dy=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\quad D^2=\dfrac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}\quad\frac{1}{D}=\int\quad F\left(D\right)=D^2+pD+q\quad F\left(D\right)y=f\left(x\right)$

情况1：

$\left\{\begin{array}{l}y*=\dfrac{1}{F(D=\alpha)}e^{\alpha x}&F(D=\alpha)\ne0\\ y^{*}=\dfrac{1}{F^{\prime}\left(D=\alpha\right)}xe^{\alpha x}&F(D=\alpha)=0,F'(D=\alpha)\ne0\\y^*=\dfrac{1}{F''(D=\alpha)}x^2e^{\alpha x}&\cdots F''(D=\alpha)\end{array}\right.$

情况2：

$\left\{\begin{array}{l}y*=\dfrac{1}{F(D^2=-\beta)}\cos\beta x& F(D^2=-\beta)\ne0\\ y^{*}=\dfrac{1}{F^{\prime}\left(D^2=-\beta\right)}x\cos\beta x& F(D^2=-\beta)=0,F^{\prime}(D^2=-\beta)\ne0\end{array}\right.$

情况3：$Q_k(D)$是将$\dfrac1{F(D)}$泰勒展开到$D^k$项。

$y^*=\dfrac{1}{F(D)}P_k(x)=Q_K(D)P_k(x)$

情况4：

$y^*=\dfrac{1}{F(D)}e^{\alpha x}v(x)=e^{\alpha x}\cdot \dfrac1{F(D+\alpha)}v(x)$

可能需要用到上面的几种运算

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