微积分
单调性:f′(x)>0严格单增
x→∙limf(x)=A⟺∀ε>0,whenx→∙,∣f(x)−A∣<ε.
- limf(x)=A:极限存在,在某点的极限与该点的函数值的存在性和取值无关,左极限 = 右极限 = 该点函数值,则函数在该点连续
- limf+(x)=limf−(x):极限唯一
- 等式脱帽:limf(x)=A⟺f(x)=A+α(x),limα(x)=0
- 不等式脱帽:A>0⟹f(x)>0
- 不等式戴帽:f(x)≥0⟹A≥0
连续区间经过有限次复合而成的复合函数在定义域内连续
连续函数的4则运算连续
基本初等函数连续
初等函数定义区间内连续
连续单调的函数的反函数在对应区间仍然连续单调
- 运算法则:需要保证在做拆分运算时,拆分后的极限各自存在
- 等价无穷小:普通函数型;复合函数型;变上限积分型;推广型;恒等变形;
- 洛比达法则
- 泰勒公式
- 夹逼准则和单调有界准则(数列较多)
f(x)在[a,b]上连续:
- 有界定理:m≤f(x)≤M
- 最值定理:∃a,b→f(a)=m,f(b)=M
- 介值定理:m≤μ≤M,∃ξ∈[a,b]→f(ξ)=μ
- 平均值定理:xi∈[a,b],∃ξ∈[x1,xn]→f(ξ)=n1∑f(xi)
- 零点定理:f(a)⋅f(b)<0⟹∃ξ∈(a,b)→f(ξ)=0
- 某点可导一定连续,连续不一定可导
- 左右导数存在(不需要相等),一定连续。但某点的导数并不能确定区间上单调性(一个点的导数不能确定一个区间)。
- 不定积分存在定理:连续函数一定有原函数,第一类间断点不存在原函数,无穷间断点不存在原函数,振荡间断点可能存在原函数
- 定积分存在定理:闭区间连续则一定可积。闭区间单调则一定可积。闭区间有界,间断点有限,可积。可积函数必有界。
- 闭区间可积,则变上限积分函数连续
- 闭区间连续,则变上限积分函数可导
- 变限积分:闭区间可积,变限积分连续。(变限积分存在必连续)
- 闭区间连续,变限积分可导。
- 充要条件:所有子数列均收敛于A.
- 归结原则:连续变量的函数极限 = 离散变量的函数极限。
- 定义法
- 夹逼准则
- 单调有界准则
- 单位向量:eX,eY,eZ:单位向量。
- 向量表示:v=(vx,vy,vz)u=(ux,uy,uz):向量。
- 向量的模:[v]=vx2+vy2+vz2:向量的模。
- 数量积:v⋅u=(vx,vy,vz)⋅(ux,uy,uz)=vxux+vyuy+vzuz
- v⊥u⟺θ=2π⟺v⋅u=0⟺vxux+vyuy+vzuz=0
- 向量的v⋅u=[v][u]cosθ⟹cosθ=[v][u]v⋅u
- vi=v⋅eI:等于向量和各个方向上的单位向量的数量积。
- a=<v,X>b=<v,Y>c=<v,Z>
- cosα=[v]vx;cosβ=[v]vy;cosγ=[v]vz:方向余弦
- a=(cosα,cosβ,cosγ)向量v的单位向量,表示方向
- 投影:Πuv=[u]v⋅u=[v]cosθ
- v×u=ivxuxjvyuykvzuz
- ∣v×u∣=[v][u]sinθ:右手规则确定方向,用于计算法向量和面积
- 混合积:[vuw]=(v×u)⋅w=vxuxwxvyuywyvzuzwz,混合积=0,三向量共面。
- 哈密顿算子:∇=(∂x∂,∂y∂,∂z∂)
- 方向导数:三元函数u=u(x,y,z)在点P0=(x0,y0,z0)处有定义,距离t=∑i=xx,y,z(i−i0)2,
∂l∂u∣P0=limt→0+tu(P)−u(P0)=limt→0+tu(x0+tcosα,y0+tcosβ,z0+tcosγ)−u(P0)=∇u(P0)⋅lo=ux′(P0)cosα+uy′(P0)cosβ+uz′(P0)cosγ=∣∇∣∣lo∣cosθ
- 梯度:gradu∣P0=∇⋅u(P0)=(ux′(P0