线性方程组的解

线性方程组和向量组其实是一个问题，但考试中多以线性方程组的概念出现，我们单独理解一下。

线性方程组求的$Ax=b$中的$x$，其含义是在空间$A$中通过各个基向量参数生成$b$向量。换句话说，自然基下的$b$向量如何在$A$空间中表达？

这是一种映射问题：映射结构有三种：1对1，1对多，多对1.

解空间

对于齐次方程组：$Ax=0$所求x只有0解，$A$没有冗余向量，没有线性无关解。换个方向理解，即除了0向量，A无法将任何向量映射为0向量。

如果有非0解，意味着$A$中的基向量线性相关，有$A$空间有冗余向量。多一个冗余向量就多一个线性无关解。线性无关解的个数=冗余度。线性无关解代表一个解的方向，所有的线性无关解组成基础解系。方程组的所有解都可以通过基础解系线性表出。（在映射关系上，有冗余向量可以参与到变形中来，因此解有很多）

解空间=基础解系作为基向量形成的空间。空间不一定饱和，但向量一定互质。

通解：解空间*系数向量=$R\cdot k=\sum k_{i}\xi_{i}$

如何理解线性无关解的个数等于冗余度？$Ax$表示$x$向量在$A$空间中的基向量上的系数坐标。当$A$空间存在冗余向量时，冗余向量对$x$的定位没有任何作用。所以$x$中对应冗余向量的值无意义（指向$A$中的虚空间或直接被$A$的主空间湮灭了）。例如：

1. $\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\ b\\ c\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix}$中：$A$对应1个冗余度，$c$被$A$的主空间湮灭了。所以有一个线性无关解$\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 1\end{bmatrix}$。
2. $\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\ b\\ c\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}$中：$A$对应1个冗余度，$c$指向$A$中的虚空间无意义。所以有一个线性无关解$\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 1\end{bmatrix}$。

1. 初等变换将解化成同解方程组。
2. 行阶梯型：若有0行，全在下方，出现连续的0的个数自上向下严格单增。
3. 行最简阶梯型：台角位置都是1，台角正上方元素都是0

对于非齐次方程组$Ax=b$：与$A$是否存在虚空间有关。

若$A$存在虚空间，意味着$A$中的基向量无法对虚维向量进行表示，因此如果是在$A$空间的虚维上时，是无解的。（$r(A)\ne r([A|b])$）；

若$A$不存在虚空间，且没有冗余向量：$A$是互质饱和空间：方程组有唯一解。$r(A)= r([A|b])=n$

若$A$不存在虚空间，有冗余向量：有无穷多解。因为一个冗余向量代表一个解向量。$r(A)= r([A|b])<n$

解的结构：

1. 齐次解的线性和仍是齐次解
2. 齐次解+非齐次特解 = 非齐次通解
3. 非齐次特解 - 非齐次特解 = 齐次解

这与微积分学中微分方程的结构相关。

公共解：满足$\begin{bmatrix}A\\ B\end{bmatrix}x=0$的解。

同解方程组： $r(A)=r(B)=r(\begin{bmatrix}A\\ B\end{bmatrix})$

‍