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点击查看和下载：线性代数公式大纲

线性代数的两种理解：

  • 由列向量张成的线性空间
  • 将向量作为输入和输出的一类函数（线性变换、空间变换、空间伸展）

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矩阵

通设A=[a11a12a13a21a22a23a31a32a33]A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}，B=[b11b12b13b21b22b23b31b32b33]B=\begin{bmatrix}b_{11} & b_{12} & b_{13}\\ b_{21} & b_{22} & b_{23}\\ b_{31} & b_{32} & b_{33}\end{bmatrix},α=[a,b,c]T,β=[d,e,f]T,γ=[h,i,j]T\alpha=\left\lbrack a,b,c\right\rbrack^{T},\beta=\left\lbrack d,e,f\right\rbrack^{T},\gamma=\left\lbrack h,i,j\right\rbrack^{T}

  1. 同型矩阵：主空间和基向量数都相同的矩阵。
  2. 正交矩阵：AT=A−1(AAT=E)A^T=A^{-1}(AA^T=E)，矩阵由规范正交基组成
  3. 初等矩阵：单位矩阵EE经过一次初等变换得到的矩阵EijE_{ij}
  4. 可逆矩阵：PP−1=QQ−1=EPP^{-1}=QQ^{-1}=E，可逆矩阵一定可以通过单位矩阵进行有限次初等变换得到。
  5. 等价矩阵（A可以通过有限次初等变换化为B）：PAQ=BPAQ=B
  6. 充要条件：ABAB((20230929130221-mfuz6qu '同型矩阵'))且
  7. r(A)=r(B)=r(A∣B)r(A)=r(B)=r(A|B)
  8. 等价向量组：两个向量组相互可以线性表出
  9. 相似矩阵：P−1AP=BP^{-1}AP=B
  10. 正定矩阵：λi>0\lambda_i>0：必要条件：aii>0a_{ii}>0,∣A∣>0|A|>0
  11. 惯性指数全部为正
  12. A≃EA\simeq E 合同
  13. 全部顺序主子式大于0
  14. 特征值全部>0>0

矩阵运算

矩阵行列式运算结果为互质饱和空间的基向量图形积。图形积为0，存在冗余向量或虚空间，因此线性相关。

  1. det⁡(AB)=det⁡(A)⋅det⁡(B)\det(AB)=\det(A)\cdot\det(B)
  2. det⁡(kA)=kndet⁡(A)\det\left(kA\right)=k^{n}\det\left(A\right)
  3. 行列式按某行展开：det⁡A=∑j=1naijAij\det A=\sum _{j=1}^n a_{ij}A_{ij}
  4. 两行（列）互换，行列式反号。
  5. 某行的kk倍加到另一行上行列式不变。

线性运算

  1. ((20230929130221-mfuz6qu '同型矩阵'))相等：aij=bija_{ij}=b_{ij}
  2. ((20230929130221-mfuz6qu '同型矩阵'))相加：A+B=[aij+bij]A+B=\left\lbrack a_{ij}+b_{ij}\right\rbrack
  3. 数乘：kA=[kaij]kA=\left\lbrack ka_{ij}\right\rbrack，k(A+B)=kA+kBk(A+B)=kA+kB，(k+l)A=kA+lA(k+l)A=kA+lA：数乘空间是将空间的所有向量延展数倍。
  4. TT：(AT)T=A;(kA)T=kAT;(A+B)T=AT+BT;(AB)T=BTAT;det⁡(AT)=det⁡(A)(A^T)^T=A;(kA)^T=kA^T;(A+B)^T=A^T+B^T;(AB)^T=B^TA^T;\det(A^T)=\det(A)

伴随：

  1. 伴随：A∗=[(−1)i+jMij]TA^*=\left\lbrack\left(-1\right)^{i+j}M_{ij}\right\rbrack^T
  2. AA∗=A∗A=∣A∣EAA^*=A^*A=|A|E
  3. ∣A∗∣=∣A∣n−1|A^*|=|A|^{n-1}
  4. (AT)∗=(A∗)T(A^T)^*=(A^*)^T
  5. (A−1)∗=(A∗)−1\left(A^{-1}\right)^{\ast}=\left(A^{\ast}\right)^{-1}
  6. (AB)∗=B∗A∗(AB)^{*}=B^{*}A^{*}
  7. (A∗)∗=∣A∣n−2A(A^*)^*=|A|^{n-2}A

逆运算

  1. A−1=1det⁡AA∗A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}A^*
  2. (A−1)−1=A(A^{-1})^{-1}=A
  3. (kA)−1=1kA−1(kA)^{-1}=\dfrac{1}{k}A^{-1}
  4. (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
  5. (AT)−1=(A−1)T\left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T}
  6. det⁡A−1=(det⁡A)−1\det A^{-1}=\left(\det A\right)^{-1}
  7. A−1,B−1  ̸ ⁣ ⁣ ⁣  ⟹  (A+B)−1A^{-1},B^{-1}\;\not\!\!\!\implies (A+B)^{-1}

其他

  1. 旋转：A=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]A=\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}将列向量逆时针旋转θ\theta度
  2. 镜像：A=[−1001]A=\begin{bmatrix}-1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}

分块运算

  1. 拉普拉斯：{det⁡[AOBC]=det⁡A⋅det⁡Bdet⁡[OABC]=(−1)mndet⁡A⋅det⁡B\begin{cases}\det\begin{bmatrix}A & O\\ B & C\end{bmatrix}=\det A\cdot\det B\\ \det\begin{bmatrix}O & A\\ B & C\end{bmatrix}=\left(-1\right)^{mn}\det A\cdot\det B\end{cases}
  2. 范德蒙德行列式：

det⁡[xji−1]=∏1≤i≤j≤n(xj−xi)\det\left\lbrack x_{j}^{i-1}\right\rbrack=\prod_{1\le i\le j\le n}^{}\left(x_{j}-x_{i}\right)

  1. [AOOB]−1=[A−1OOB−1],[OABO]−1=[OB−1A−1O],[BODC]−1=[B−1O−C−1DB−1C−1]\begin{bmatrix}A & O\\ O & B\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}A^{-1} & O\\ O & B^{-1}\end{bmatrix},\begin{bmatrix}O & A\\ B & O\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}O^{} & B^{-1}\\ A^{-1} & O\end{bmatrix},\begin{bmatrix}B & O\\ D & C\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}B^{-1} & O\\ -C^{-1}DB^{-1} & C^{-1}\end{bmatrix}
  2. [ABCD]T=[ATCTBTDT]\begin{bmatrix}A & B\\ C & D\end{bmatrix}^{T}=\begin{bmatrix}A^{T} & C^{T}\\ B^{T} & D^{T}\end{bmatrix}
  3. [ABCD][EFGH]=[AE+BGAF+BHCE+DGCF+DH]\begin{bmatrix}A & B\\ C & D\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E & F\\ G & H\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}AE+BG & AF+BH\\ CE+DG & CF+DH\end{bmatrix}
  4. [AD]n=[AnDn]\begin{bmatrix}A & \\ & D\end{bmatrix}^{n}=\begin{bmatrix}A^{n} & \\ & D^{n}\end{bmatrix}
  5. [A1A2⋱An]−1=[A1−1A2−1⋱An−1]\begin{bmatrix}A_1 & & & \\ & A_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_{n}\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}A_1^{-1} & & & \\ & A_2^{-1} & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_{n}^{-1}\end{bmatrix}
  6. [A1A2⋱An]−1=[An−1⋱A2−1A1−1]\begin{bmatrix} & & & A_1\\ & & A_2 & \\ & \ddots & & \\ A_{n} & & & \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} & & & A_{n}^{-1}\\ & & \ddots & \\ & A_2^{-1} & & \\ A_1^{-1} & & & \end{bmatrix}
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