通设:S=limn→∞Sn=∑n=1∞un T=limn→∞Tn=∑n=1∞vn,S,T表示收敛,!S,!T表示发散,D表示发散,A表示收敛
常数项级数
S=limn→∞Sn=∑n=1∞un
- ∑(aun+bvn)⟹aS+bT
改变级数的任意有限项,不会改变级数的敛散性
- S⟹limn→∞un=0
- S⟺m≤S≤M
- 比较判别法:un<vn⟹{T⟹S!S⟹!T
- 分式比较法:limn→∞vnun=A⟹⎩⎨⎧A=0A=∞A=0∣∣∞T⟹S!T⟹!SS≈T
- 比值判别法:limn→∞unun+1=ρ⟹⎩⎨⎧ρ<1⟹Sρ>1⟹!Sρ=1⟹noworking
- 根值判别法:limn→∞nun=ρ⟹⎩⎨⎧ρ<1⟹Sρ>1⟹!Sρ=1⟹noworking
积分判别法:un=f(n)函数是连续、非负、单调减少。则S=∑n=a∞un≈∫a+∞f(x)dx
莱布尼兹判别法:∑n=1∞(−1)n−1un,un>0,un单调不增且limn→∞un=0则级数收敛。
- ∣S∣⟹S
- 条件发散:S&!∣S∣
- 绝对收敛的级数任意项交换后仍然绝对收敛
- ∣u∣⟹u
- !u⟹!∣u∣
- u2⟹nun;∣nun∣≤21(un2+n21)
- u⟹∣u∣
- u⟹u2
- u⟹(−1)nu
- u⟹unun+1
- u⟹un+un+1
- u⟹un−un+1
- u⟹u2n−1+u2n:收敛级数的任意加括号所得的级数仍收敛
- u⟹u2n−1−u2n:
- uA+vA⟹A
- uA+vD⟹D
- ∣u∣A+∣v∣A⟹D
- uD+uD⟹?
收敛级数的项任意加括号后所得的新级数仍然收敛,且其和不变。加括号后发散,原级数发散。
交替级数的存在使得u在做乘法运算后的敛散性不能确定
相关:反常积分
- 几何级数∑aqn−1⎩⎨⎧∣p∣<1⟹A=1−qa∣p∣≥1⟹D
- 调和级数:∑n1⟹D
- 交错调和级数:∑(−1)n−1⋅n1⟹A
- 广义调和级数:∑an+b1⟹D
- p级数:∑np1{p>1⟹Ap≤1⟹D
- 广义p级数:∑nlnpn1{p>1⟹Ap≤1⟹D
幂级数
函数项级数:∑un(x),n为变量,x为参变量,收敛于一个函数,x取确定的值x0时,函数项级数确定为常数项级数。
给定x0∈I,此时函数项级数收敛,x0称为收敛点。函数项级数的所有收敛点的集合称为它的收敛域。
∑anxn在x=x1处收敛,对于满足∣x∣<∣x1∣的一切x,幂级数绝对收敛;在x=x2处发散,对于满足∣x∣>∣x2∣的一切x,幂级数发散。
limn→∞anan+1=ρ⟹R=⎩⎨⎧ρ1+∞0ρ=0ρ=0ρ=+∞
以上确定了收敛半径,然后单独确定x=±R的敛散性。
S(x)=∑n=1∞un(x)
在收敛域上。
- kS=∑kun
- ∑anxn±∑bnxn=∑(an±bn)xn,∣x∣<R=min{Ra,Rb}
∑n=0∞anx2n+∑n=0∞bn+1x2n+2=a0x0+∑n=1∞anx2n+∑n=1∞bnx2n=a0+∑n=1∞(an+bn)x2n
幂级数和函数的性质:
- 幂级数S(x)在收敛区域内连续
- 幂级数S(x)在收敛区域内可积,逐项积分公式:
∫0xS(t)dt=∫0x∑n=0∞antndt=∑an∫0xtndt=∑n+1anxn+1(x∈I)
收敛半径不变,收敛域可能扩大
- 幂级数S(x)在收敛区域内可导,逐项求导公式:
S′(x)=(∑anxn)′=∑(anxn)′=∑nanxn−1(∣x∣<R)
收敛半径不变,但收敛域可能缩小
泰勒展开,从x0处展开:
f(x)=∑n=0∞n!f(n)(x0)(x−x0)n
麦克劳林级数:
f(x)=∑n=0∞n!f(n)(0)xn
求法:利用已知幂级数展开式。通过变量代换、四则运算、逐项求导、逐项积分和待定系数方法。
ex=∑n=0n!xn=1+x+2!x2+3!x3+⋯,x∈R
1+x1=∑n=0xn=1−x+x2−x3+⋯.x∈(−1,1)
1−x1=∑n=0xn=1+x+x2+x3+⋯,x∈(−1,1)
sinx=∑n=0(−1)n(2n+1)!x2n+1=x−3!x3+5!x5−7!x7+⋯,x∈R
cosx=∑n=0(−1)n(2n)!x2n=1−2!x2+4!x4−6!x6+⋯,x∈R
ln(1+x)=∑n=1(−1)n−1nxn=x−2x2+3x3−4x4+⋯,x∈(−1,1]
(1+x)α=1+αx+2!α(α−1)x2+⋯+n!α(α−1)⋯(α−n+1)xn+⋯,x∈I
I=(−1,1)[α≤−1],I=(−1,1][−1<α<0],I=[