线性方程组的解
线性方程组和向量组其实是一个问题,但考试中多以线性方程组的概念出现,我们单独理解一下。
线性方程组求的中的,其含义是在空间中通过各个基向量参数生成向量。换句话说,自然基下的向量如何在空间中表达?
这是一种映射问题:映射结构有三种:1对1,1对多,多对1.
解空间
对于齐次方程组:所求x只有0解,没有冗余向量,没有线性无关解。换个方向理解,即除了0向量,A无法将任何向量映射为0向量。
如果有非0解,意味着中的基向量线性相关,有空间有冗余向量。多一个冗余向量就多一个线性无关解。线性无关解的个数=冗余度。线性无关解代表一个解的方向,所有的线性无关解组成基础解系。方程组的所有解都可以通过基础解系线性表出。(在映射关系上,有冗余向量可以参与到变形中来,因此解有很多)
解空间=基础解系作为基向量形成的空间。空间不一定饱和,但向量一定互质。
通解:解空间*系数向量=
如何理解线性无关解的个数等于冗余度?表示向量在空间中的基向量上的系数坐标。当空间存在冗余向量时,冗余向量对的定位没有任何作用。所以中对应冗余向量的值无意义(指向中的虚空间或直接被的主空间湮灭了)。例如:
- 中:对应1个冗余度,被的主空间湮灭了。所以有一个线性无关解。
- 中:对应1个冗余度,指向中的虚空间无意义。所以有一个线性无关解。
- 初等变换将解化成同解方程组。
- 行阶梯型:若有0行,全在下方,出现连续的0的个数自上向下严格单增。
- 行最简阶梯型:台角位置都是1,台角正上方元素都是0
对于非齐次方程组:与是否存在虚空间有关。
若存在虚空间,意味着中的基向量无法对虚维向量进行表示,因此如果是在空间的虚维上时,是无解的。();
若不存在虚空间,且没有冗余向量:是互质饱和空间:方程组有唯一解。
若不存在虚空间,有冗余向量:有无穷多解。因为一个冗余向量代表一个解向量。
解的结构:
- 齐次解的线性和仍是齐次解
- 齐次解+非齐次特解 = 非齐次通解
- 非齐次特解 - 非齐次特解 = 齐次解
这与微积分学中微分方程的结构相关。
公共解:满足的解。
同解方程组: