矩阵和空间
向量
- 向量的模:
- 向量的内积:
向量组和空间
基空间=极大无关列空间(互质列空间)=实空间=内空间=极大线性无关组组成的空间:,个向量张成的空间。
主空间=存在空间=最大行空间:的行的数目
虚空间=主空间-基空间
我主要采用主空间-基空间的命名方法,因为基这个字的密度很大,看起来就像里面充满了向量。主字则相反,刚好对应加上了一些虚空间后密度没有那么大的空间。
练习:
- :基向量3个,基空间2d,主空间是3d,虚空间(非饱和度)是3-2=1d. 因为基向量>基空间,所以线性相关。现在这个向量空间状态是不饱和的相关向量组,存在冗余向量。因为基空间并没有主空间填满。称之为冗余不饱和态。
- :基向量3,基空间2d,主空间2d,虚空间0; 基向量>基空间,所以线性相关。现在这个向量空间的状态是饱和的相关向量组,存在冗余向量。基空间已经把主空间撑满。称之为冗余饱和态。
- :基向量2,基空间2d,主空间3d,虚空间3-2=1d 基向量=基空间,线性无关。现在者个向量空间的状态是不饱和的不相关向量组,没有冗余向量,成为互质向量,基向量所张成的基空间并没有把主空间撑满 ,所以互质不饱和态。
- :基向量2,基空间2d,主空间2d,虚空间0; 基向量=基空间,所以线性无关。现在这个向量空间的状态是饱和的相关向量组,不存在冗余向量。基空间已经把主空间撑满。称之为互质饱和态。
由上面几个例子可以看出,基空间始终是小于等于基向量数和主空间的较小值的,而此结论也可以很容易和直观地感受到。
另外冗余向量个数=基向量个数-基空间数,我们将其称之为冗余度。或者可以和虚空间对应成为虚向量,在实际空间生成过程中,虚向量也是要湮灭和塌陷的。虚空间的个数称之为非饱和度。
虚空间塌陷的方向:不同的行代表着主空间中不同的维度方向(后文中的等价向量组的定义相关:如果两个空间的虚空间塌陷方向不同,两个空间无法相互线性表出。即不是等价向量组)
关于互质向量的命名:在我自己看都比较勉强,只是从他们正交后一个向量代表一个方向来看,因为张成这个空间个向量在正交化后的维度仍然是个,所以这个向量的简化的来看各代表一个方向,暂且称之为互质。
另外,我把主空间的基础上的虚空间称之为塌陷。而基空间在做空间变换时维度的减小称之为坍缩。
下面我们正式进入关于向量组的研究中。
- 标准正交基:向量两两正交的列向量组。对于任意的向量都有
- 规范正交基:两两正交的单位向量组。在标准正交基的基础上,对每个向量进行单位化。
- 线性相关:中至少有一个向量可以由其余向量线性表出(基向量个数>基空间或者存在冗余向量)
- 无关, 相关, 线性表出的表示法唯一:冗余度ρ=1,线性表出法唯一。
- 用维空间表示的无关向量组个数最多是个:基空间数<主空间数
- 有非零解,线性相关;有解,则可以被表出。
这两个公式与矩阵的乘法相关。更深入的理解需要结合。可以理解为向量在空间中的坐标,但是用的是自然基表示或直接地,空间中的向量在自然基下的位置坐标。进一步可以简化的理解为向量为的每个基向量们分配了系数。即,显然,如果存在非零分量,那么线性相关。同理,的结论显然成立。
- 基向量无关(基向量=基空间),主空间升维后基向量一定无关。基向量相关,空间降维后一定也相关。
即向量空间互质非饱和态的情况下,空间升维后,向量组仍然互质。实际可参考上文给出的4个例子,可以直观理解。
相关性证明:
- 向量组三秩相等:r(S)=r(行向量)=r(列向量)=r(极大线性无关组)(非冗余向量组):矩阵的秩=基空间的值=主空间的值-虚空间的值
- 等价向量组:向量组中的向量都可以被另一个向量组线性表出。(基空间相同)
基空间相同的意义在于其虚空间塌陷的方向是一样的。
- :生成的行向量组和生成的行向量组等价。
即.注意是转置,因为初等行变换不会改变列向量的位置,即向量转置后的虚空间的塌缩维度不会变。所以等价。