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向量空间的变换

上一部分我们只是定义了向量空间的一些参数,并把向量空间SS的自有性质做了简单的了解。但是向量空间存在在哪里？或者说这些基向量所指或者存在的坐标系是哪里？又或者这些基向量是针对什么空间来讨论的？我们尚未可知。当两个向量空间A,BA,B存在时，如何确定他们的关系？下面我们解释和讨论这个问题。

先告诉答案：在AB=CAB=C的式子中，例如[100010][101001]=[1010]\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0\\ 1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 1 & 0\end{bmatrix}，表示的是BB的基向量的系数挂载在A空间的基向量。换句话说，B的基向量的参考坐标轴是A空间的基向量。直白点，B的基向量是数值，而A的基向量是单位。因为这个挂靠关系，所以B的主空间的个数（B的行数）=A的基向量的个数（A的列数）。因为系数对应。（这里是与基向量的个数对应，而不是基空间，当基向量大于基空间时，基空间会塌陷）生成了CC。CC空间的主空间继承A的主空间（容易理解），C空间的基向量继承B的基向量（容易理解），C空间的基空间可能会发生坍缩。坍缩度=？。而对于C而言，其实是默认使用自然基（简单化坐标系：根坐标系为自然基）。EC.EC.

另一种解释，本质是相同的：右矩阵中的列向量做左矩阵的线性变换（基向量相对自然基发生改变，乘法结果用自然基表示）因此左右有序，不满足交换律。 任何一个向量被一个矩阵左乘（即线性变换），实际几何意义就是在这个向量所在的空间的坐标系被进行了更换！新的坐标系中，基向量就是这个矩阵的两个列向量！简单来说，线性变换的意义就是用新的基向量来表示原本向量。矩阵的线性变换是一种对空间的操作，而非对空间内某一对象的操作。（@刘亚曦）

  1. Bx=CyBx = Cy ：自然基下的坐标相等(固定参考系)
  2. 基变换公式：，AA空间变换右乘CC变成BB空间，CC称为过渡矩阵。过渡矩阵是可逆矩阵。CC的第ii列是新基的第ii个列向量在旧基下的坐标。

由此总结出：每一个向量组或者矩阵实质代表n个列向量组成的一个空间，行数是这个空间的主空间维度。左乘代表这个空间的参考原空间。右乘代表这个向量的基经过变换，当然右乘的矩阵应该是方阵。

  1. 坐标变换公式：
  2. 如何对空间进行正交规范化：
  3. 先进行标准正交化：{β1=α1β2=α2−(α1,β1)(β1,β1)β1\begin{cases}\beta_1=\alpha_1\\ \beta_2=\alpha_2-\dfrac{\left(\alpha_1,\beta_1\right)}{\left(\beta_1,\beta_1\right)}\beta_1\end{cases}
  4. 再进行规范化：ηi=βi∥βi∥\eta_{i}=\dfrac{\beta_{i}}{\|\beta_{i}\|}

矩阵的初等变换​

初等行变换：空间SS左乘（挂靠）一个初等空间（初等空间指单位空间经过一次初等变换的得到的矩阵。）PP。相当于SS中的向量从自然基坐标系切换了成了PP基坐标系。PP有几种（即初等行变换有几类）：

  1. PP空间的所有基向量在该空间的某一个方向的维度进行非零倍的拉伸。所以SS空间不会发生坍缩。
  2. PP空间交换所有基向量的两个空间维度。所以SS空间不会发生坍缩。
  3. PP空间将所有基向量某个维度上的系数的若干倍加到另一个维度上。所以SS空间不会发生坍缩。

综上：初等变换不改变空间的秩（即基空间的维度）。即初等变换不改变基空间的维度。即该初等变换不会发生空间坍缩。

  1. BB在做非初等变换AA变换后可能发生空间坍缩。（初等空间不会伤害向量组，但是非初等空间会伤害向量组）
  2. r(S=A+B)≤r(T=[A∣B])≤r(A)+r(B)r(S=A+B)\le r(T=[A|B])\le r(A)+r(B)：SS中的基向量均可由TT中的基向量线性表出。所以r(S)≤r(T)r(S)\le r(T)
  3. r(A∗)={nr(A)=n1r(A)=n−10r(A)<n−1r(A^{*})=\left\{\begin{array}{l}n& r\left(A\right)=n\\ 1&r(A)=n-1\\ 0&r(A)< n-1\end{array}\right.：饱和态空间的伴随空间时饱和的。非饱和态空间的伴随矩阵含有延冗余向量或虚维度展开的向量，此时伴随矩阵的基空间维度仅存在1或0两种可能。

矩阵的相似变换​

基本前提：AA的主空间和基向量数相等。（A是n阶矩阵）空间一致，不同基下的不同映射。

相似矩阵是同一线性变换在不同坐标系下的表达方式。因此相似矩阵的特征值相同，因为矩阵的本质不会改变，该伸缩的伸缩该倾斜的倾斜特征值必定相同。 合同是同一个二次曲线用二次型表示在不同基下的关系。 等价三维空间中的一个平面上的线性变换和二维空间中的一个平面的线性变换相同。

合同一定等价，但不一定相似。 若PP为正交矩阵，则合同和相似一致。

Aξ=λξA\xi=\lambda\xi

λ\lambda特征值，ξ\xi特征向量，A′=λE−AA^{\prime}=\lambda E-A特征矩阵，特征多项式∣A−λE∣=0|A-\lambda E|=0：关于λ\lambda的nn次方程。

  1. ∑λ=∑aii=tr(A)\sum \lambda =\sum a_{ii}=tr(A)
  2. ∏λi=∣A∣\prod \lambda_i=|A|

对应不同特征值的特征向量线性无关。

k重特征值至多有k个线性无关的特征向量

同一特征值对应的不同特征向量的线性和是该特征值的特征向量

A∼B    ⟺    P−1AP=BA\sim B\;\iff\;P^{-1}AP=B

A∼B  ⟹  {Am∼Bmf(A)∼f(B)A−1∼B−1f(A−1)∼f(B−1)AT∼BTA∗∼B∗A\sim B\implies\begin{cases}A^{m}\sim B^{m}\\ f\left(A\right)\sim f\left(B\right)\\ A^{-1}\sim B^{-1}\\ f\left(A^{-1}\right)\sim f\left(B^{-1}\right)\\ A^{T}\sim B^{T}\\ A^{\ast}\sim B^{\ast}\end{cases}

相似对角化：（相似标准化，相似正交化）：P−1AP=ΛP^{-1}AP=\Lambda，其中PP是特征向量组成的列向量组，Λ\Lambda为对角线是特征向量对应特征值的对角矩阵。

  1. AA可以相似对角化   ⟺  \iff AA有nn个线性无关的特征向量组成PP
  2. AA有n个不同的特征值\implies$$A可以相似对角化

实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交。

  1. AA是实对称矩阵\implies$$A可以相似对角化

对称矩阵必有n个线性无关的特征向量。

矩阵的合同变换​

可以把二次型简单的理解为实对称矩阵。

f(x,y,z)=[x1,x2,x3][a11a12a13a21a22a23a31a32a33][x1x2x3]=xTAxf(x,y,z)=[x_1,x_2,x_3]\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\end{bmatrix}=x^{T}Ax

正交矩阵的AT=A−1A^T=A^{-1}

x=Cy  ⟹  xTAx=(Cy)TA(Cy)=yTCTACy=yTBy=g(y)x=Cy\implies x^TAx=(Cy)^TA(Cy)=y^TC^TACy=y^TBy=g(y)

B=CTACB=C^TAC

可以看出：合同是从二次型得来的概念。经过非退化线性替换，二次型还是二次型（二次曲线还是二次曲线）只不过原来的基是x，现在是y。

可逆线性变换不会改变二次型的秩。 和对称矩阵合同的矩阵也必定是对称矩阵。 合同变换移动坐标轴，实现状态最佳的坐标系。实对称矩阵一定存在正交矩阵使得实对称矩阵化成标准型。

  1. 标准型：只含有平方项系数（对角矩阵）没有交叉项的二次型。f=∑aixi2f=\sum a_ix_i^2
  2. 规范型：系数只有1,−1,01,-1,0三个数的标准型。
  1. 配方法：形成标准型和规范型。
  2. 正交变换法：形成标准型。
  3. 惯性指数pqp q不变，合同矩阵变换后二次曲面的形态不会发生改变：r=p+qr=p+q
  4. 两个二次型或实对称矩阵合同的充要条件是有相同的正负惯性指数或有相同的秩和正（负）惯性指数。
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