通设：$S=\lim_{n\to \infin}S_n=\sum_{n=1}^{\infin}u_n$ $T=\lim_{n\to \infin}T_n=\sum_{n=1}^{\infin}v_n$,$S,T$表示收敛，$!S,!T$表示发散，$D$表示发散，$A$表示收敛

常数项级数

$S= \lim_{n\to \infin} S_n=\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$

1. $\sum(au_n+bv_n) \implies aS+bT$

改变级数的任意有限项，不会改变级数的敛散性

2. $S\implies\lim_{n\to\infin} u_n=0$

正向级数的收敛原则

1. $S \Longleftrightarrow m\le S\le M$
2. 比较判别法：$u_{n}<v_{n}\implies\begin{cases}T\implies S\\ !S\implies!T\end{cases}$
3. 分式比较法：$\lim_{n\to\infty}\dfrac{u_{n}}{v_{n}}=A\implies\left\{\begin{array}{l}A=0&T\implies S\\ A=\infty&!T\implies!S\\ A\ne0\left|\right|\infty& S\thickapprox T\end{array}\right.$
4. 比值判别法：$\lim_{n\to\infty}\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\rho\implies\begin{cases}\rho<1\implies S\\ \rho>1\implies!S\\ \rho=1\implies\mathrm{noworking}\end{cases}$
5. 根值判别法：$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_{n}}=\rho\implies\begin{cases}\rho<1\implies S\\ \rho>1\implies!S\\ \rho=1\implies\mathrm{noworking}\end{cases}$

积分判别法：$u_n=f(n)$函数是连续、非负、单调减少。则$S=\sum_{n=a}^\infin u_n\approx\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$

交错级数的收敛判别

莱布尼兹判别法：$\sum_{n=1}^\infin(-1)^{n-1}u_n,u_n>0$,${u_n}$单调不增且$\lim_{n\to \infin}u_n=0$则级数收敛。

任意项级数的判别

1. $|S|\implies S$
2. 条件发散：$S\&!|S|$
3. 绝对收敛的级数任意项交换后仍然绝对收敛
4. $|u|\implies u$
5. $!u\implies!|u|$
6. $u^2\implies \dfrac{u_n}{n}$;$|\dfrac{u_{n}}{n}|\le\frac12\left(u_{n}^2+\frac{1}{n^2}\right)$
7. $u\;\not\!\!\!\implies\left|u\right|$
8. $u\;\not\!\!\!\implies u^2$
9. $u\;\not\!\!\!\implies (-1)^nu$
10. $u\;\not\!\!\!\implies u_nu_{n+1}$
11. $u\implies u_n+u_{n+1}$
12. $u\implies u_n - u_{n+1}$
13. $u\implies u_{2n-1}+u_{2n}$：收敛级数的任意加括号所得的级数仍收敛
14. $u\;\not\!\!\!\implies u_{2n-1} - u_{2n}$：
15. $uA+vA \implies A$
16. $uA+vD \implies D$
17. $|u|A+|v|A\implies D$
18. $uD+uD\implies ?$

收敛级数的项任意加括号后所得的新级数仍然收敛，且其和不变。加括号后发散，原级数发散。

交替级数的存在使得$u$在做乘法运算后的敛散性不能确定

常见级数？

相关：反常积分

1. 几何级数$\sum aq^{n-1}\begin{cases}\left|p\right|<1\implies A=\dfrac{a}{1-q}\\ \left|p\right|\ge1\implies D\end{cases}$
2. 调和级数：$\sum \dfrac1n\implies D$
3. 交错调和级数：$\sum (-1)^{n-1}\cdot\dfrac1n\implies A$
4. 广义调和级数：$\sum \dfrac1{an+b}\implies D$
5. $p$级数：$\sum\dfrac{1}{n^{p}}\begin{cases}p>1\implies A\\ p\le1\implies D\end{cases}$
6. 广义$p$级数：$\sum\dfrac{1}{n\ln^{p}{n}}\begin{cases}p>1\implies A\\ p\le1\implies D\end{cases}$

幂级数

函数项级数：$\sum u_n(x)$,$n$为变量，$x$为参变量，收敛于一个函数，$x$取确定的值$x_0$时，函数项级数确定为常数项级数。 给定$x_0\in I$，此时函数项级数收敛，$x_0$称为收敛点。函数项级数的所有收敛点的集合称为它的收敛域。

阿贝尔定理

$\sum a_nx^n$在$x=x_1$处收敛，对于满足$|x|<|x_1|$的一切$x$，幂级数绝对收敛；在$x=x_2$处发散，对于满足$|x|>|x_2|$的一切$x$，幂级数发散。 $\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\rho\implies R=\left\{\begin{array}{l}\dfrac{1}{\rho} & \rho\ne0\\ +\infty & \rho=0\\ 0& \rho=+\infin\end{array}\right.$

以上确定了收敛半径，然后单独确定$x=\pm R$的敛散性。

幂级数的和函数？

$S(x)=\sum_{n=1}^\infin u_n(x)$

在收敛域上。

1. $kS=\sum ku_n$
2. $\sum a_nx^n\pm \sum b_nx^n=\sum (a_n\pm b_n)x^n,|x|<R=\min\{R_a,R_b\}$

$\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{2n}+\sum_{n=0}^{\infty}b_{n+1}x^{2n+2}=a_0x^0+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{2n}+\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}x^{2n}=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right)x^{2n}$

幂级数和函数的性质：

1. 幂级数$S(x)$在收敛区域内连续
2. 幂级数$S(x)$在收敛区域内可积，逐项积分公式：

$\int_0^{x}S\left(t\right)\mathrm{d}t=\int_0^{x}\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}t^{n}dt=\sum a_{n}\int_0^{x}t^{n}dt=\sum\frac{a_{n}}{n+1}x^{n+1}\left(x\in I\right)$

收敛半径不变，收敛域可能扩大

3. 幂级数$S(x)$在收敛区域内可导，逐项求导公式：

$S^{\prime}\left(x\right)=\left(\sum a_{n}x^{n}\right)^{\prime}=\sum\left(a_{n}x^{n}\right)^{\prime}=\sum na_{n}x^{n-1}\left(\left|x\right|<R\right)$

收敛半径不变，但收敛域可能缩小

泰勒展开，从$x_0$处展开: $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^{n}$ 麦克劳林级数： $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}$ 求法：利用已知幂级数展开式。通过变量代换、四则运算、逐项求导、逐项积分和待定系数方法。

$e^x=\sum_{n=0}\dfrac{x^n}{n!}=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots,x\in R$

$\dfrac{1}{1+x}=\sum_{n=0}x^n=1-x+x^2-x^3+\cdots.x\in (-1,1)$

$\dfrac{1}{1-x}=\sum_{n=0}x^n=1+x+x^2+x^3+\cdots,x\in(-1,1)$

$\sin x=\sum_{n=0}(-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\cdots,x\in R$

$\cos x=\sum_{n=0}(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\cdots,x\in R$

$\ln(1+x)=\sum_{n=1}(-1)^{n-1}\dfrac{x^n}{n}=x-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}3-\dfrac{x^4}4+\cdots,x\in (-1,1]$

$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+\cdots,x\in I$

$I=(-1,1)[\alpha\le-1],I=(-1,1][-1<\alpha<0],I=[-1,1][\alpha>0,\alpha\not\in N_+],I=R[\alpha=N_+]$

傅里叶级数？

$f(t)=\dfrac{a_0}{2}+\sum^\infin_{n=1}[a_n\cos(n\omega t)+b_n\sin(n\omega t)]$

$a_n=\dfrac2T\int^{t_0+T}_{t_0}f(t)\cos (n\omega t)dt$

正弦级数和余弦级数

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