重积分

二重积分

性质	公式
区域面积	$A=\iint_{D}d\sigma$
可积有界	$\iint_{D}f\left(x,y\right)\mathrm{d}\sigma=A\implies m\le f\left(x,y\right)\le M$
保号性	$\left\|\iint_{D}f\left(x,y\right)\mathrm{d}\sigma\right\|\le\iint_{D_{}}\left\|f\left(x,y\right)\right\|\mathrm{d}\sigma$
估值定理	$mA\le\iint_{D}f\left(x,y\right)d\sigma\le MA$
线性可拆	$\iint_{D}\left\lbrack k_1f\left(x,y\right)+k_2g\left(x,y\right)]\mathrm{d}\sigma\right.=k_1\iint_{D}f\left(x,y\right)\mathrm{d}\sigma+k_2\iint_{D}g\left(x,y\right)\mathrm{d}\sigma$
区域可加	$\iint_{D}f\left(x,y\right)\mathrm{d}\sigma=\iint_{D_1}f\left(x,y\right)\mathrm{d}\sigma+\iint_{D_2}f\left(x,y\right)\mathrm{d}\sigma$
中值定理	$\iint_{D}f\left(x,y\right)\mathrm{d}\sigma=f\left(\xi,\eta\right)A$
普通对称	$\iint_{D}f\left(x,y\right)\mathrm{dxdy}=\left\{\begin{array}{}2\iint_{D_1}f\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y &f\left(-x,y\right)=f\left(x,y\right)\\ 0,& f(x,y)=-f(-x,y)\end{array}\right.$
轮换对称	$\iint_{D}f\left(x,y\right)d\sigma=\iint_{D}f\left(y,x\right)d\sigma$

二重积分计算方法

直角坐标系：$\iint_{D}f\left(x,y\right)d\sigma=\int_{a}^{b}dx\int_{\varphi_1\left(x\right)}^{\varphi_2\left(x\right)}f\left(x,y\right)\mathrm{d}y=\int_{c}^{d}dy\int_{\psi_1\left(y\right)}^{\psi_2\left(y\right)}f\left(x,y\right)\mathrm{d}x$

极坐标系：$\iint_{D}f\left(x,y\right)d\sigma=\int_{\alpha}^{\beta}d\theta\int_{r_1\left(\theta\right)}^{r_2\left(\theta\right)}f\left(r\cos\theta,r\sin\theta\right)rdr$

交换积分次序

三重积分

权重空间，可以把看作是密度$\rho$

性质	公式
物体体积	$\iiint_{\Omega}dv=V$
可积有界	$\iiint_{\Omega}f\left(x,y,z\right)\mathrm{dv}=A\implies m\le f\left(x,y,z\right)\le M$
保号性	$\left\|\iiint_{\Omega}f\left(x,y,z\right)\mathrm{dv}\right\|\le\iiint_{\Omega}\left\|f\left(x,y,z\right)\right\|\mathrm{dv}\quad \|\| \quad \iiint_\Omega f(x,y,z)dv \le\iiint_\Omega g(x,y,z)dv$
估值定理	$mV\le\iiint_{\Omega}f\left(x,y,z\right)dv\le MV$
线性可拆	$\iiint_{\Omega}\left\lbrack k_1f\left(x,y,z\right)+k_2g\left(x,y,z\right)]\mathrm{dv}\right.=k_1\iiint_{\Omega}f\left(x,y,z\right)\mathrm{dv}+k_2\iiint_{\Omega}g\left(x,y,z\right)\mathrm{dv}$
区域可加	$\iiint_{\Omega}f\left(x,y,z\right)\mathrm{dv}=\iiint_{\Omega_1}f\left(x,y,z\right)\mathrm{dv}+\iiint_{\Omega_2}f\left(x,y,z\right)\mathrm{dv}$
中值定理	$\iiint_{\Omega}f\left(x,y,z\right)\mathrm{dv}=f\left(\xi,\eta,\zeta\right)A$
普通对称	$\iiint_{\Omega}f\left(x,y,z\right)\mathrm{dv}=\left\{\begin{array}{l}2\iiint_{\Omega_1}f\left(x,y,z\right)\mathrm{dv} & f\left(-x,y,z\right)=f\left(x,y,z\right)\\ 0,&f(x,y,z)=-f(-x,y,z)\end{array}\right.$
轮换对称	$\iiint_{\Omega}f\left(x,y,z\right)\mathrm{d}v= \iiint_{\Omega}f\left(y,x,z\right)\mathrm{d}v$

三重积分计算方法

1. 直角坐标系
2. 投影穿线法:$\iiint_{\Omega}f\left(x,y,z\right)dv=\iint_{D_{xy}}d\sigma\int_{z_1\left(x,y\right)}^{z_2\left(x,y\right)}f\left(x,y,z\right)dz$

后积先定限，限内画条线，先交写下限，后交写上限

2. 定限截面法:$\iiint_{\Omega}f\left(x,y,z\right)dv=\int_{a}^{b}dz\iint_{D_{z}}f\left(x,y,z\right)d\sigma$

3. 柱面坐标系:$\iiint_{\Omega}f\left(x,y,z\right)\mathrm{d}xdydz=\iiint_{\Omega}f\left(r\cos\theta,r\sin\theta,z\right)rdrd\theta dz$

4. 球面坐标系:$\iiint_{\Omega}f\left(x,y,z\right)\mathrm{d}xdydz=\iiint_{\Omega}f\left(r\sin\varphi\cos\theta,r\sin\varphi\cos\theta,r\cos\varphi\right)r^2\sin\varphi d\theta d\varphi dr$