二型线面积分
变力场F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k做功,向量场中被积函数是向量函数,满足有向可加。
W=∫ΓdW=∫ΓF(x,y,z)dr=∫Γ(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))⋅(dx,dy,dz)=∫ΓP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz
参数式化为定积分:
∫ΓP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫αβ{P[x(t),y(t)]x′(t)+Q[x(t),y(t)]y′(t)}dt
α,β是起点和终点。
格林公式:∮LPdx+Qdy=∬D(∂x∂Q−∂y∂P)dσ
条件:L封闭,PQ连续偏导。左手定则。
斯托克斯公式:
设S是分片光滑的有向曲面,S的边界为有向闭曲线Γ,即Γ=∂S,且Γ的正向与S的侧符合右手规则; 函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)都是定义在“曲面S连同其边界Γ”上且都具有一阶连续偏导数的函数,则有:
∮∂SF⋅dr=∬S∇×F⋅dS
∮LPdx+Qdy+Rdz=∬Σcosα∂x∂Pcosβ∂y∂Qcosγ∂z∂RdS=∬S(∂y∂R−∂z∂Q)dydz+(∂z∂P−∂x∂R)dzdx+(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy
向量函数(变力场)F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k通过曲面的通量。
dS=(dydz,dxdz,dxdy) S的指定侧单位法向量n°=(cosα,cosβ,cosγ)
∬ΣF⋅dS=∬ΣF⋅n°dS
基本计算化为二重积分:
∬ΣF⋅dS=∬ΣP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy
高斯公式
∬ΣPdydz+Qdxdz+Rdxdy=∭Ω(∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R)dv
多变量微积分笔记 https://www.cnblogs.com/bigmonkey/p/9036605.html