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积分学

不定积分​

∫f(x)dx=F(x)+C\int f(x) dx = F(x) +C

不定积分存在定理

连续函数一定有原函数，第一类间断点不存在原函数，无穷间断点不存在原函数，振荡间断点可能存在原函数

定积分​

∫abf(x)dx=lim⁡λ→0∑k=1nf(ξk)Δxk=lim⁡n→∞∑i=1nf(a+b−ani)b−an\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=\lim_{\lambda\to0}\sum_{k=1}^{n}f\left(\xi_{k}\right)\Delta x_{k}=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f\left(a+\dfrac{b-a}{n}i\right)\dfrac{b-a}{n}

积分线性性质：∫abk1f(x)+k2g(x)dx=k1∫abf(x)dx+k2∫abg(x)dx\int_{a}^{b}k_1f\left(x\right)+k_2g\left(x\right)\mathrm{d}x=k_1\int_{a}^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x+k_2\int_{a}^{b} g\left(x\right)\mathrm{d}x

积分保号性：∣∫abf(x)dx∣≤∫ab∣f(x)∣dx\left\vert\int_{a}^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x\right\vert\le\int_{a}^{b}\left\vert\right.f\left(x)\right\vert\mathrm{d}x

估值定理

中值定理:闭区间连续

积分法
  1. 性质（用于计算化简放缩）
  2. 积分公式
  3. 凑微分法：∫f[g(x)]g′(x)dx=∫f[g(x)]dg(x)=∫f(u)du\int f\left\lbrack g\left(x\right)\right\rbrack g^{\prime}\left(x\right)\mathrm{d}x=\int f\left\lbrack g\left(x\right)\right\rbrack\mathrm{d}g\left(x\right)=\int f\left(u\right)\mathrm{d}u
  4. 换元法：三角函数代换、恒等变形后三角函数代换、根式代换、倒代换、复杂函数直接代换。
  5. 积分中值定理：
    1. ∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)\int_{a}^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x=f\left(\xi\right)\left(b-a\right)
    2. ∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx\int_{a}^{b}f\left(x\right)g\left(x\right)\mathrm{d}x=f\left(\xi\right)\int_{a}^{b}g\left(x\right)\mathrm{d}x
  6. 牛莱公式
  7. 变限积分求导
  8. 分部积分法：∫udv=uv−∫vdu\int u\mathrm{dv}=uv-\int v\mathrm{du} 表格法：
f(x)df(x)ddf(x)
d(g(x))ig(x)iig(x)
  1. 区间再现公式：∫abf(x)dx=∫abf(b+a−x)dx\int_{a}^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x=\int_{a}^{b}f\left(b+a-x\right)\mathrm{d}x
  2. 有理函数积分法：因式分解分母。
  3. 几何意义求积分
  4. 对称区间求积分
  5. 周期函数积分
  6. 点火公式：∫0π2sin⁡nxdx=∫0π2cos⁡nxdx={n−1n⋅n−3n−2⋅⋯12⋅π2n−1n⋅n−3n−2⋅⋯23⋅1\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}x\mathrm{d}x=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}x\mathrm{d}x=\begin{cases}\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdot\cdots\dfrac12\cdot\dfrac{\pi}{2}\\ \dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdot\cdots\dfrac23\cdot1\end{cases}

变限积分​

求导：F(x)=∫ϕ1(x)ϕ2(x)f(t)dt  ⟹  F′(x)=f[ϕ2(x)]ϕ2′(x)−f[ϕ1(x)]ϕ1′(x)F^{}\left(x\right)=\int_{\phi_1\left(x\right)}^{\phi_2\left(x\right)}f\left(t\right)\mathrm{d}t\implies F^{\prime}\left(x\right)=f\left\lbrack\phi_2\left(x\right)\right\rbrack\phi_2^{\prime}\left(x\right)-f\left\lbrack\phi_1\left(x\right)\right\rbrack\phi_1^{\prime}\left(x\right)

反常积分​

∫1+∞dxxp  ⟹  {p>1  ⟹  Ap≤1  ⟹  D∫01dxxp  ⟹  {p≥1  ⟹  A0<p<1  ⟹  D\int_1^{+\infty}\dfrac{dx}{x^{p}}\implies\left\{\begin{array}{l}p>1\implies A\\ p\le1\implies D\end{array}\right.\qquad\int_0^1\dfrac{dx}{x^{p}}\implies\left\{\begin{array}{l}p\ge1\implies A\\ 0<p<1\implies D \end{array}\right. ∫2+∞dxxln⁡px  ⟹  {p>1  ⟹  Ap≤1  ⟹  D\int_2^{+\infty}\dfrac{dx}{x\ln^{p}x}\implies\left\{\begin{array}{l}p>1\implies A\\ p\le1\implies D \end{array}\right.

AA表示收敛， DD表示发散。相关：级数

一重积分应用​

  1. 积分等式证明
  2. 积分不等式证明
  3. 平面图形面积
  4. 旋转体的体积
  5. 函数平均值yˉ=1b−a∫aby(x)dx\bar{y}=\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}y\left(x\right)\mathrm{d}x
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