微分学
一元
导数
存在表示 在该点可导。
尖点和折点不可导,可导不等于光滑,可微 = 可导
可微的判别
即判断误差是 的高阶无穷小。
- 真实增量:
- 线性增量:
- 无穷小则可微:
导数的计算
- 定义法
- 基本求导公式
- 分段函数求导
- 复合函数求导
- 反函数求导
- 参数方程求导
- 隐函数
- 对数求导法
- 幂指函数求导法
- 高阶导数
- 归纳法
- 莱布尼兹公式
- 泰勒公式
- 变限积分求导公式
导数中值定理
描述连续光滑曲线在两点之间的光滑性,保证闭区间连续开区间可导
相关:函数中值定理
-
费马
Fermat
:极值点存在导数则导数为0. -
罗尔
Rolle
:闭连开导函数,端点值相等则
罗尔原话
如果 最多有 个根,那么 最多有 个根。
-
拉式
Lagrant
:闭连开导函数, -
柯西
Cauchy
:两个闭连开导函数, 其中 -
泰勒
Taylor
: 拉格朗日余项, 配亚诺余项,当 时麦克劳林公式
导数的几何应用
- 极值:
间断点也可以是极值点
- 可导极值点,;
- 极大值:
- 极小值:
- 最值: 确定函数定义域内的所有驻点和不可导点和端点函数值,其中最大值和最小值就是函数的最大值和最小值。
最值点不一定是极值点,极值点也不一定是最值点。
- 凹凸性: 凸。
- 二阶可导拐点:
对于可导点,极值点和拐点不可能是一个点
- 渐近线:铅直渐近线;水平渐近线;斜渐近线
多元
多元微分
连续:
偏导数:
偏导数的连续性:定义法和公式法求得的值是否相等。
- 定义法求
- 公式法求
- 计算:
- 检查是否相等
可微的判别
全增量:
全微分:
如果的值不依赖于,而仅与相关,则可微。
无条件极值
必要条件:
存在极值:
极大值,极小值。方法失效。
条件最值
拉格朗日乘数法
- 构造辅助函数
- 偏导数构造的方程组
- 解备选点,求
- 根据实际问题,必存在最值,所得即为所求