海明码基本思想是分组偶校验，由信息位(n)和校验位(k)组成，海明码的校验位计算公式：2^k >= n+k+1
-
2^k表示：k个校验位对应2^k种状态 -
n + k + 1表示：n + k代表任何一位都可能出错，1代表一种正确的状态
海明码生成
所有的幂次位都是校验位，代表一组的偶校验值。
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确定海明码位数：信息位(n) + 校验位(k) :通过信息位算出校验位：
2^k >= n+k+1 -
校验位的位置编号：
2^(k-1) -
将信息位填入剩余位置
-
把信息位的位置编号用二进制数表示
-
二进制数的每一位对应校验位.将二进制数是
1的进行组合 -
用异或运算算出校验位，得到海明码
-
对海明码整体进行偶校验得到最终的海明码
假设数据为10101011
-
求校验位
k，代入公式2^k >= n + k + 1。校验位算出是k=4位，记为：P1~P4 -
海明位
h：由信息位和校验位组成：8 + 4 = 12，记为H1~H12 -
填入数据位：校验位所在的位置是
2^(k-1)，P1~P4对应H1,H2,H4,H8，信息位填入剩下的空位：
| H12 | H11 | H10 | H9 | H8 | H7 | H6 | H5 | H4 | H3 | H2 | H1 |
| D8 | D7 | D6 | D5 | P4 | D4 | D3 | D2 | P3 | D1 | P2 | P1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
- 计算剩余的
P1~P4的值。求校验位需要先知道信息位所在位置的二进制（k位，对应校验位）
-
信息位所在位置：
H3/H5/H6/H7/H9/H10/H11/H12 -
信息位的最后一位为
P1，最后第二位为P2，以此类推
| 数据位位置码 | P4 | P3 | P2 | P1 |
H30011 | 0 | 0 | 1 | 1 |
H50101 | 0 | 1 | 0 | 1 |
H60110 | 0 | 1 | 1 | 0 |
H70111 | 0 | 1 | 1 | 1 |
H91001 | 1 | 0 | 0 | 1 |
H101010 | 1 | 0 | 1 | 0 |
H111011 | 1 | 0 | 1 | 1 |
H121100 | 1 | 1 | 0 | 0 |
校验位对应各信息位二进制数为 1 的组合：
-
P1对应的信息位H3/H5/H7/H9/H11 -
P2对应的信息位H3/H6/H7/H10/H11 -
P3对应的信息位H5/H6/H7/H12 -
P4对应的信息位H9/H10/H11/H12
- 将各信息位的值进行异或运算，求得校验位的值：
-
P4 = H9/H10/H11/H12 → D5⊕D6⊕D7⊕D8 → 0⊕1⊕0⊕1 → 0
-
P3 = H5/H6/H7/H12 → D2⊕D3⊕D4⊕D8 → 1⊕0⊕1⊕1 → 1
-
P2 = H3/H6/H7/H10/H11 → D1⊕D3⊕D4⊕D6⊕D7 → 1⊕0⊕1⊕1⊕0 → 1
-
P1 = H3/H5/H7/H9/H11 → D1⊕D2⊕D4⊕D5⊕D7 → 1⊕1⊕1⊕0⊕0 → 1
P1P2P3P4=1110填入：
| H12 | H11 | H10 | H9 | H8 | H7 | H6 | H5 | H4 | H3 | H2 | H1 |
| D8 | D7 | D6 | D5 | P4 | D4 | D3 | D2 | P3 | D1 | P2 | P1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
最终得到的海明码为：101001011111
校验
S1：P1⊕D1⊕D2⊕D4⊕D5⊕D7 -> 1⊕1⊕1⊕1⊕0⊕0 -> 0
S2：P2⊕D1⊕D3⊕D4⊕D6⊕D7 -> 1⊕1⊕0⊕1⊕1⊕0 -> 0
S3：P3⊕D2⊕D3⊕D4⊕D8 -> 1⊕1⊕0⊕1⊕1 -> 0
S4：P4⊕D5⊕D6⊕D7⊕D8 -> 0⊕0⊕1⊕0⊕1 -> 0
海明码纠错的方式是：各校验位用偶校验进行校验
S4S3S2S1 = 0000 且整体偶检验成功：无错误
S4S3S2S1 ≠ 0000 且整体偶检验失败：一位错误，纠正即可
S4S3S2S1 ≠ 0000 且整体偶检验成功：两位错误，需重传
一位出错
| H12 | H11 | H10 | H9 | H8 | H7 | H6 | H5 | H4 | H3 | H2 | H1 | |
| D8 | D7 | D6 | D5 | P4 | D4 | D3 | D2 | P3 | D1 | P2 | P1 | |
| 正确 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| H2错 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
代入校验方程：
S1：P1⊕D1⊕D2⊕D4⊕D5⊕D7 -> 1⊕1⊕1⊕1⊕0⊕0 -> 0
S2：P2⊕D1⊕D3⊕D4⊕D6⊕D7 -> 0⊕1⊕0⊕1⊕1⊕0 -> 1
S3：P3⊕D2⊕D3⊕D4⊕D8 -> 1⊕1⊕0⊕1⊕1 -> 0
S4：P4⊕D5⊕D6⊕D7⊕D8 -> 0⊕0⊕1⊕0⊕1 -> 0
得到错误位S4S3S2S1：0010，转为十进制为 2，也就是说 H2 处错了。
例2：
| H12 | H11 | H10 | H9 | H8 | H7 | H6 | H5 | H4 | H3 | H2 | H1 | |
| D8 | D7 | D6 | D5 | P4 | D4 | D3 | D2 | P3 | D1 | P2 | P1 | |
| 正确 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| H11 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
代入校验方程：
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S1：P1⊕D1⊕D2⊕D4⊕D5⊕D7->1⊕1⊕1⊕1⊕0⊕1->1 -
S2：P2⊕D1⊕D3⊕D4⊕D6⊕D7->1⊕1⊕0⊕1⊕1⊕1->1 -
S3：P3⊕D2⊕D3⊕D4⊕D8->1⊕1⊕0⊕1⊕1->0 -
S4：P4⊕D5⊕D6⊕D7⊕D8->0⊕0⊕1⊕1⊕1->1
得到错误位S4S3S2S1：1011，转为十进制为 11，也就是说 H11 处错了。
S4S3S2S1 指明了出错位在哪里
两位出错
| H12 | H11 | H10 | H9 | H8 | H7 | H6 | H5 | H4 | H3 | H2 | H1 | |
| D8 | D7 | D6 | D5 | P4 | D4 | D3 | D2 | P3 | D1 | P2 | P1 | |
| 正确 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| H2、H9 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
代入校验方程：
S1：P1⊕D1⊕D2⊕D4⊕D5⊕D7 -> 0⊕1⊕1⊕1⊕1⊕1 -> 1
S2：P2⊕D1⊕D3⊕D4⊕D6⊕D7 -> 1⊕1⊕0⊕1⊕1⊕1 -> 1
S3：P3⊕D2⊕D3⊕D4⊕D8 -> 1⊕1⊕0⊕1⊕1 -> 0
S4：P4⊕D5⊕D6⊕D7⊕D8 -> 1⊕1⊕1⊕1⊕1 -> 1
得到错误位S4S3S2S1：1011，转为十进制为 11，是否说明了 H11 位出错了呢？
所以海明码只有一位的纠错能力。
全校验位
为了保证海明 码的校验能力，引入全校验位，对海明码整体进行偶校验
由于要进行偶校验，上面的海明码有八个 1，所以最高位 H13 是 0：
| H13 | H12 | H11 | H10 | H9 | H8 | H7 | H6 | H5 | H4 | H3 | H2 | H1 |
| P5 | D8 | D7 | D6 | D5 | P4 | D4 | D3 | D2 | P3 | D1 | P2 | P1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
最终的海明码为：0101001011111
码距
同一编码中，任意两个合法编码之间不同二进制位数的最小值
0011 与 0001 的码距为 1，一位错误时无法识别
0000、0011、0101、0110、1001、1010、1100、1111 等编码码距为 2。 任何一位发生变化，如 0000 变成 1000 就从有效编码变成了无效编码，容易检测到这种错误
校验码中增加冗余项的目的就是为了增大码距
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码距 ≥ e+1 : 可检测 e 个错误
-
码距 ≥ 2t+1 : 可纠正 t 个错误
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码距 ≥ e+t+1 : 可纠正 t 个错误，同时检测 e 个错误(e ≥ t)