二型线面积分

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二型曲线积分

变力场$\bold{F}(x,y,z)=P(x,y,z)\bold{i}+Q(x,y,z)\bold{j}+R(x,y,z)\bold{k}$做功，向量场中被积函数是向量函数，满足有向可加。

$W=\int_{\Gamma}dW=\int_{\Gamma}\bold{F}\left(x,y,z\right)d\bold{r}=\int_{\Gamma}\left(P\left(x,y,z\right),Q\left(x,y,z\right),R\left(x,y,z\right)\right)\cdot\left(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,dz\right)=\int_{\Gamma}P\left(x,y,z\right)\mathrm{d}x+Q\left(x,y,z\right)\mathrm{d}y+R\left(x,y,z\right)dz$

参数式化为定积分：

$\int_{\Gamma}P\left(x,y\right)\mathrm{d}x+Q\left(x,y\right)\mathrm{d}y=\int_{\alpha}^{\beta}\left\lbrace P\left\lbrack x\left(t\right),y\left(t\right)\right\rbrack x^{\prime}\left(t\right)+Q\left\lbrack x\left(t\right),y\left(t\right)\right\rbrack y^{\prime}\left(t\right)\right\rbrace\mathrm{d}t$

$\alpha，\beta$是起点和终点。

格林公式：$\oint_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)d\sigma$

条件：$L$封闭，$PQ$连续偏导。左手定则。

斯托克斯公式：

设$S$是分片光滑的有向曲面，$S$的边界为有向闭曲线$Γ$，即$\Gamma = \partial S$，且$Γ$的正向与$S$的侧符合右手规则; 函数$P(x,y,z)$、$Q(x,y,z)$、$R(x,y,z)$都是定义在“曲面$S$连同其边界$Γ$”上且都具有一阶连续偏导数的函数，则有：

$\oint_{\partial S}\bold{F}\cdot\mathrm{d\bold{r}}=\iint_{S}\nabla\times\bold{F}\cdot\mathrm{d}\bold{S}$

$\oint_{L}Pdx+Qdy+Rdz=\iint_{\Sigma}\left|\begin{array}{ccc}\cos\alpha & \cos\beta & \cos\gamma \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} P & Q & R\end{array}\right|dS=∬_{S}\left(\frac{\partial R}{\partial y}−\frac{\partial Q}{\partial z}\right)dydz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}−\frac{\partial R}{\partial x}\right)dzdx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}−\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$

二型曲面积分

向量函数(变力场)$\bold{F}(x,y,z)=P(x,y,z)\bold{i}+Q(x,y,z)\bold{j}+R(x,y,z)\bold{k}$通过曲面的通量。

$\mathrm{d}\bold{S}=\left(\mathrm{d}y\mathrm{d}z,\mathrm{d}x\mathrm{d}z,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\right)$ $\bold S$的指定侧单位法向量$\bold{n}\degree=(\cos \alpha,\cos \beta,\cos \gamma)$

$\iint_{\Sigma}\bold{F}\cdot \mathrm {d}\bold{S}=\iint_{\Sigma}\bold{F}\cdot \bold{n}\degree\mathrm d\bold{S}$

基本计算化为二重积分：

‍$\iint_{\Sigma}\bold{F}\cdot \mathrm {d}\bold{S}=\iint_{\Sigma}P\left(x,y,z\right)\mathrm{d}ydz+Q\left(x,y,z\right)\mathrm{d}xdz+R\left(x,y,z\right)\mathrm{d}xdy$

高斯公式

$\oiint_{\Sigma}Pdydz+Qdxdz+Rdxdy=\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dv$

refs

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