一型线面积分
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一型曲线积分
光滑曲线质量，弧微分$\mathrm{ds}=\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2+[z'(t)]^2}\mathrm{dt}$
| 性质 | 公式 |
|---|---|
| 曲线弧长 | $\int_{\Gamma}1ds=l_{\Gamma}$ |
| 可积有界 | $\int_{\Gamma}f\left(x,y,z\right)\mathrm{ds}=A\implies m\le f\left(x,y,z\right)\le M$ |
| 保号性 | $\left|\int_{\Gamma}f\left(x,y,z\right)\mathrm{ds}\right|\le\iint_{\Gamma_{}}\left|f\left(x,y,z\right)\right|\mathrm{ds}$ |
| 估值定理 | $ml_\Gamma\le\int_{\Gamma}f\left(x,y,z\right)ds\le Ml_\Gamma$ |
| 线性可拆 | $\int_{\Gamma}\left\lbrack k_1f\left(x,y,z\right)+k_2g\left(x,y,z\right)]\mathrm{ds}\right.=k_1\int_{\Gamma}f\left(x,y,z\right)\mathrm{ds}+k_2\int_{\Gamma}g\left(x,y,z\right)\mathrm{ds}$ |
| 区域可加 | $\int_{\Gamma}f\left(x,y,z\right)\mathrm{ds}=\int_{\Gamma_1}f\left(x,y,z\right)\mathrm{ds}+\int_{\Gamma_2}f\left(x,y,z\right)\mathrm{ds}$ |
| 中值定理 | $\int_{\Gamma}f\left(x,y,z\right)\mathrm{ds}=f\left(\xi,\eta,\zeta\right)l_{\Gamma}$ |
| 普通对称 | $\int_{\Gamma}f\left(x,y,z\right)\mathrm{ds}=\left{\begin{array}{l}2\int_{\Gamma_1}f\left(x,y,z\right)\mathrm{ds}& f\left(-x,y,z\right)=f\left(x,y,z\right) 0,& f(x,y,z)=-f(-x,y,z)\end{array}\right.$ |
| 轮换对称 | $\int_{\Gamma}f\left(x,y,z\right)\mathrm{ds}= \int_{\Gamma}f\left(y,x,z\right)\mathrm{ds}$ |
将边界方程带入被积函数可化简
一型曲面积分
光滑曲面薄片质量。$\mathrm{dS}=\sqrt{1+[z'_x]^2+[z'_y]^2}\mathrm{dxdy}$，基本计算方法：
$\iint_{\Sigma}f\left(x,y,z\right)dS=\iint f\left\lbrack x,y,z\left(x,y\right)\right\rbrack\sqrt{1+\left(z_{x}^{\prime}\right)^2+\left(z_{y}^{\prime}\right)^2}\mathrm{dxdy}$
| 性质 | 公式 |
|---|---|
| 曲面面积 | $\iint_{\Sigma}1dS=S$ |
| 可积有界 | $\iint_{\Sigma}f\left(x,y,z\right)\mathrm{dS}=A\implies m\le f\left(x,y,z\right)\le M$ |
| 保号性 | $\left|\iint_{\Sigma}f\left(x,y,z\right)\mathrm{dS}\right|\le\iint_{\Sigma_{}}\left|f\left(x,y,z\right)\right|\mathrm{dS}$ |
| 估值定理 | $mS\le\iint_{\Sigma}f\left(x,y,z\right)dS\le MS$ |
| 线性可拆 | $\iint_{\Sigma}\left\lbrack k_1f\left(x,y,z\right)+k_2g\left(x,y,z\right)]\mathrm{dS}\right.=k_1\iint_{\Sigma}f\left(x,y,z\right)\mathrm{dS}+k_2\iint_{\Sigma}g\left(x,y,z\right)\mathrm{dS}$ |
| 区域可加 | $\iint_{\Sigma}f\left(x,y,z\right)\mathrm{dS}=\iint_{\Sigma_1}f\left(x,y,z\right)\mathrm{dS}+\iint_{\Sigma_2}f\left(x,y,z\right)\mathrm{dS}$ |
| 中值定理 | $\iint_{\Sigma}f\left(x,y,z\right)\mathrm{dS}=f\left(\xi,\eta,\zeta\right)S$ |
| 普通对称 | $\iint_{\Sigma}f\left(x,y,z\right)\mathrm{dS}=\left{\begin{array}{l}2\iint_{\Sigma_1}f\left(x,y,z\right)\mathrm{dS} f\left(-x,y,z\right)=f\left(x,y,z\right) 0, f(x,y,z)=-f(-x,y,z)\end{array}\right.$ |
| 轮换对称 | $\iint_{\Sigma}f\left(x,y,z\right)\mathrm{dS}= \iint_{\Sigma}f\left(y,x,z\right)\mathrm{dS}$ |
将边界方程带入被积函数可化简
一型积分的应用
质心=重心，当$\rho$是常数时，质心=形心。$\bar{x}=\dfrac{\int x\rho;\mathrm{dV}}{\int\rho\mathrm{dV}};\bar{y}=\dfrac{\int y\rho;\mathrm{dV}}{\int\rho\mathrm{dV}};\bar{z}=\dfrac{\int z\rho;\mathrm{dV}}{\int\rho\mathrm{dV}}$
转动惯量：$I_{x}=\iint_{D}y^2\rho\left(x,y\right)d\sigma = \iiint _\Omega(y^2+z^2)\rho(x,y,z)dv$
对于一个质点的转动惯量：$I=mr^2$
引力$F_x=Gm\iiint_\Omega \dfrac{\rho (x,y,z)(x-x_0)}{[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z+z_0)^2]^{\frac{3}{2}}}dv$ */}