微分学

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一元

导数

{/* f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = A */}

A 存在表示 f(x) 在该点可导。

f'(x_0) = A \Longleftrightarrow f'-(x_0) = f'+(x_0) = A

尖点和折点不可导，可导不等于光滑，可微 = 可导

导数的计算

1. 定义法
2. 基本求导公式
3. 分段函数求导
4. 复合函数求导
5. 反函数求导
6. 参数方程求导
7. 隐函数
8. 对数求导法
9. 幂指函数求导法
10. 高阶导数
    • 归纳法
    • 莱布尼兹公式
    • 泰勒公式
11. 变限积分求导公式

导数中值定理

描述连续光滑曲线在两点之间的光滑性，保证闭区间连续开区间可导

相关：函数中值定理

1. 费马Fermat：极值点存在导数则导数为0.

2. 罗尔Rolle：闭连开导函数,端点值相等则

3. 拉式Lagrant：闭连开导函数,\exist \xi\in (a,b) \to f(b) -f(a) = f'(\xi)(b-a)

4. 柯西Cauchy：两个闭连开导函数

5. 泰勒Taylor：R_n(x) 拉格朗日余项，o(x^n) 配亚诺余项，当 x_0 = 0 时麦克劳林公式

导数的几何应用

1. 极值：f(x)\le f(x_0)，x\in U

间断点也可以是极值点

3. 最值：f(x)\le f(x_0)，x\in I 确定函数定义域内的所有驻点和不可导点和端点函数值，其中最大值和最小值就是函数的最大值和最小值。

最值点不一定是极值点，极值点也不一定是最值点。

4. 凹凸性：f''(x)< 0 凸。
5. 二阶可导拐点：\left {\begin{array}{l} f''(x_0)=0；f''(x_0+)\cdot f''(x_0-)< 0f''(x_0)=0 \quad f'''(x_0)\neq 0 f^{(2n)}(x_0)=0\quad f^{(2n+1)}(x_0)\neq 0 \end{array}\right.

对于可导点，极值点和拐点不可能是一个点

6. 渐近线：铅直渐近线；水平渐近线；斜渐近线 */}

多元

多元微分

无条件极值

必要条件：f'_x=f'_y=0

极大值A< 0,极小值A>0。AC-B^2=0方法失效。

条件最值

拉格朗日乘数法

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